Um Brüche addieren oder subtrahieren zu können, müssen wir den Hauptnenner finden und alle Brüche auf diesen erweitern oder kürzen.

Hauptnenner finden

Um den Hauptnenner zu finden, sehen wir uns zunächst die Nenner an und überlegen, ob einer der beiden ein Vielfaches des anderen ist.

Haben wir beispielsweise , so haben wir die Nenner 2 und 8, 8 ist ein Vielfaches von 2 und damit unser Hauptnenner.

Brüche auf den Hauptnenner kürzen oder erweitern

Also erweitern wir den Bruch von Nenner 2 auf 8 und können die Brüche anschließend addieren.

Genauso verfahren wir bei der Subtraktion:

Hauptnenner bei Brüchen ohne Vielfache des Nenners

Haben wir zwei Nenner, die keine Vielfachen sind, haben wir zwei Möglichkeiten, den Hauptnenner zu finden.

1. Wir gehen die Vielfachen des größeren der beiden Nenner schrittweise durch und prüfen, ob der kleinere Nenner ein Teiler dieser Zahl ist.

8 ist kein Vielfaches von 3, also gehen wir die Vielfachen von 8 durch:

2 • 8 = 16 Das ist kein Vielfaches von 3. 

3 • 8 = 24  Das ist ein Vielfaches von 3, also haben wir unseren Hauptnenner gefunden, nämlich 24.

Im nächsten Schritt erweitern wir und können dann addieren.

Bei der Subtraktion funktioniert das genauso.

Hauptnenner mithilfe des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV)

Bei größeren Nennern berechnen wir den Hauptnenner mithilfe des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, auch kgV genannt, indem wir die beiden Nenner in ihre Primfaktoren zerlegen:

24 = 2 • 12 = 2 • 2 • 6 = 2 • 2 • 2 • 3

27 = 3 • 9 = 3 • 3 • 3

Da bei beiden Nennern der Faktor 3 einmal vorkommt, streichen wir ihn bei der Berechnung des kgV einmal, alle anderen Faktoren werden miteinander multipliziert. Die einfache Streichung zweier doppelt vorhandener Faktoren ist wichtig, denn sonst berechnen wir nicht das kgV, sondern einfach das Produkt beider Nenner.

zum Vergleich: 

ohne streichen: 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 3 = 648, denn 24 • 27 = 648

mit streichen gemeinsamer Faktoren: kgV = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 = 216

Nun erweitern wir unsere beiden Nenner auf 216:

Wie immer überprüfen wir nun noch, ob wir den erhaltenen Bruch kürzen können. Dies ist nicht der Fall.

Das gleiche gilt wieder für die Subtraktion.

Zusammenfassung Brüche addieren und subtrahieren

1. Nenner gleichnamig machen

Bei der Addition und Subtraktion müssen wir die Brüche gleichnamig machen, sie brauchen also den gleichen Nenner.

2. Prüfung auf Vielfache

Wir prüfen dafür zunächst, ob der größere der beiden Nenner ein Vielfaches des kleineren ist. Ist dies der Fall, erweitern wir den Bruch mit dem kleineren Nenner entprechend auf einen Bruch mit dem Hauptnenner. Nun können wir problemlos addieren oder subtrahieren.

3. Vielfache des größeren Nenners prüfen

Ist der größere Bruch kein Vielfaches des kleineren, aber wir können leicht die Vielfachen des größeren Nenners prüfen, ob sie durch den kleineren teilbar sind, finden wir so recht schnell unseren Hauptnenner und erweitern den Bruch mit dem kleineren Nenner entsprechend auf einen Bruch mit dem Hauptnenner. Nun können wir problemlos addieren oder subtrahieren.

4. Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Sind die Nenner große Zahlen, deren Vielfache wir nicht schnell im Kopf berechnen können, gehen wir den Weg über die Primfaktorzerlegung, um das kleinste gemeinsame Vielfache, das kgV, zu finden. Anschließend erweitern wir beiden Brüche auf das errechnete kgV und können problemlos addieren oder subtrahieren.

Viel Vergnügen beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen!